По Лейбніцу наш світ найкращий із існуючих світів, і тому його закони керуються екстремальними принципами К.Зигель .Актуальність міжпредметних зв'язків у шкільному навчальному процесі очевидна. Вона обумовлена яскраво вираженою інтеграцією суспільних, природничих та технічних знань. Науки об'єднуються у вивченні складних комплексних проблем сучасності. Особливо важливі й стійкі зв'язки фізики та математики. Зокрема, математичні моделі фізичних процесів ефективно «працюють» при розв'язуванні задач. Програма з фізики передбачає обов'язкове розв'язування задач різних типів. У пізнанні навколишньої дійсності, встановленні якомога кращих, оптимальних результатів розв'язування тієї чи іншої проблеми, особливе місце належить задачам на екстремум, тобто, задачам, в яких необхідно знайти найбільше чи найменше значення якоїсь величини. Ще відомий математик античності Герон Олександрійський відзначав, що «природа керується екстремальними принципами», а в XVII—XIX сторіччях було виявлено, що «природі властиво діяти оптимально» і в фізиці, і в механіці, і в термодинаміці - взагалі всюди. Розв'язування задач на екстремум дає змогу зрозуміти, наскільки ефективно використовуються математичні методи в їх практичному застосуванні. Водночас ці задачі важливі не лише з точки зору математики, вони є джерелом знань із курсу фізики. Розв'язування таких задач сприяє розвитку дослідницьких якостей у тих, хто навчається, оскільки їм при цьому доводиться, аналізуючи фізичну суть явища, досліджувати знайдену математичну модель з використанням критеріїв оптимальності. Розв'язування задач на екстремум дидактично доцільне, оскільки, крім вищезазначеного, дає можливість пропонувати учням різноманітні завдання: «сформулювати в явному вигляді фізичні закони; підібрати аналогічні задачі з додаткової літератури, використовуючи для цієї мети також збірники задач, журнали». При розв'язуванні екстремальних задач найкраще вдається виділити процес пошуку оптимального розв'язування, в явному вигляді сформулювати ті міркування, які передували розв'язуванню. Особливо слід виділити задачі, в яких необхідно знайти максимум чи мінімум, і пов'язані лише з якісною стороною фізичного явища. Такі задачі можуть служити гарним засобом перевірки засвоєння фізичних законів. Все ж, незважаючи на якісний характер умов таких задач, успішне та досить повне їх розв'язування можливе лише з використання математичного апарату. Частина екстремальних задач несе в собі й виховну функцію, оскільки дає можливість дістати уявлення про такі поняття, як «найбільш вигідне», «найбільш економне», «інтенсифікація», «оптимізація» та інші. Ці поняття, в свою чергу, знаходять використання в промисловості, сільському господарстві тощо. Задача 1. Два електрони, що знаходяться на нескінченно великій відстані один від одного, починають рухатися назустріч один одному, причому їхні швидкості у цей момент однакові за величиною і протилежні за напрямком. Визначити найменшу відстань між електронами, якщо =106 м/с; е=1,6·10 Кл , m =9·10 кг. Розв'язування За законом збереження енергії W =W , де W — енергія електронів у початковий момент часу. W =2· ; Потенціальна енергія взаємодії рівна нулю, тому що електрони знаходяться на нескінченно великій відстані один від одного і не взаємодіють: W - енергія електронів, коли вони знаходяться на мінімальній відстані один від одного W =e Е =0, оскільки при r електрони нерухомі. 2· = ; r = ; r =2,5·10 м. Задача 2. Три заряджених конденсатори з ємностями С =1 мкФ, С =2 мкФ, С =3 мкФ, які розраховані на максимальну напругу відповідно U =1000 В, U =200 В, U =500 В, з'єднанні в батарею. При якому з'єднанні конденсаторів можна подавати найбільшу напругу? Чому дорівнюють напруга та ємність батареї? Розв'язування. Розглянемо можливі випадки з'єднання конденсаторів у батареї. Обчислимо для кожного випадку значення. С і U. Після порівняння результатів обчислень приходимо до висновку, що найбільше значення U =1200 В, при цьому ємність батареї С= мкФ буде, коли конденсатори С і С з'єднані паралельно, підключаються до С послідовно. Задача 3. Середня відносна швидкість руху двох молекул дорівнює r =u , де u -середня швидкість по відношенню до стінок посудини. Який висновок треба зробити про середнє значення кута між векторами швидкості молекул? Розв'язування. Відносна швидкість руху двох тіл є геометрична різниця їх абсолютних швидкостей. З того факту, що r =u , ми заключаємо, що середнє значення кута між ними дорівнює . (Це вірно, бо кут повинен змінюватися в межах від 0 до .) Задача 4. Яка питома теплоємність ідеального газу більша - С чи С ? Розв'язування. На якісному рівні зрозуміло, що питома теплоємність ідеального газу при сталому тиску більша ніж питома його теплоємність при сталому об'ємі (при сталому об'ємі вся передана газу кількість теплоти йде тільки на нагрівання, а при сталому тиску газ має можливість працювати, тому, щоб нагріти газ при сталому тиску на стільки ж градусів, що і при сталому об'ємі, треба передати йому більшу кількість теплоти). Крім того, з термодинаміки відомо, що С = С + де R — універсальна газова стала, а М –молярна маса. >0. Тому С > С . Задача 5. З якою мінімальною швидкістю повинна летіти льодинка, температура якої - t , щоб при ударі о стінку вона вся розплавилася і одержана вода перетворилася у пару? Розв'язування. При ударі кінетична енергія льодинки перетворюється в теплоту, внаслідок чого відбувається нагрівання льодинки до температури плавлення t =0°С, плавлення, нагрівання одержаної води до температури кипіння t =100°С, та її пароутворення. На основі закону збереження та перетворення енергії одержуємо рівняння: =c m( t - t )+ m+c m(t - t )+rm; де - швидкість льодинки, c і c відповідно питомі теплоємності льоду та води, - питома теплота плавлення льоду, r — питома теплота пароутворення води. Звідси знайдемо необхідну швидкість: = . Задача 6. Яку найменшу швидкість повинен мати електрон для того, щоб він міг іонізувати атоми водню? Потенціал іонізації атома водню 13,5 В. Розв'язування. Для того, щоб іонізувати атом водню, електрон повинен мати кінетичну енергію, яка дорівнює енергії іонізації: W =W , = eU де е та m - заряд і маса електрона. Тоді = , =2,2·10 м/с. Задача 7. Циклотрон, призначений для прискорення протонів до енергії 5МеВ. Визначити найбільший радіус орбіти, і якій рухається протон, якщо індукція магнітного поля 1Тл. Розв'язування. Протон рухається в циклотроні по спіральній орбіті, яка складається з півкіл, радіус яких поступово збільшується. При цьому на нього діє сила Лоренца F=q Bsin , де sin =1.Запишемо для протона другий закон Ньютона в проекції на вісь у, спрямованої до центру кола: F=та (1), де a = а = . Тоді рівняння (1) можна привести до вигляду: звідки , q B=m . Отже, (2) Перетворимо вираз : m = · = ;(3) де W - кінетична енергія протона. Підставивши вираз (3) в (2) дістанемо: R= ; R=0,32м. Задача 8. У мережу змінного струму з діючим значенням напруги u =127 В послідовно ввімкнені резистор опором R=100 Ом та конденсатор ємністю С=40 мкФ. Знайти амплітудне значення струму колі. Розв'язування. Залежність сили струму від часу має вигляд i=I sin t де I - амплітуда сили струму, — циклічна частота. За законом Ома: I = ; U - амплітуда напруги, z - повний опір кола. z= , R- активний опір кола, X = ємнісний опір u = , звідси U = u , Тоді I = · u ; I =1,4А Задача 9. Максимальна напруга в коливальному контурі, що складається з котушки з індуктивністю L=5 мкГн та конденсатора ємністю С= 13330 пФ дорівнює =1,2 В. Активний опір мізерно малий. Визначити: діюче значення струму в контурі, максимальне значення магнітного потоку, якщо число витків котушки N=28. Розв'язування. З рівності та I = , знаходимо I = I =44мА З рівності Ф ·N=L·I , знаходимо Ф = Ф =1,1·10 Вб. Задача 10. Два однакових позитивних заряди знаходяться на відстані 20см один від одного. Знайти на прямій, перпендикулярній лінії, що з'єднує заряди і проходить через середину цієї лінії, точку, в якій напруженість поля максимальна. Розв'язування. Візьмемо на осі х довільну точку А, що знаходиться на відстані х від точки О (див. рисунок 1). Рисунок 1 За принципом суперпозиції напруженість .поля в цій точці: = + (1) та - напруженість у точці А поля, створеного зарядом q і зарядом q . Проектуючи векторне рівняння (1) на вісь х, дістанемо: Е=Е cos +Е cos , (2) Де - кут між векторами та і віссю х. Оскільки Е = Е то рівність (2) можна записати у вигляді: Е=2·Е cos (3) Із ОАС знаходимо: cos = = . Враховуючи, що Е = , та r= = ; отримаємо: Е= ·2 x·4= ; (4) Якщо в даній точці напруженість поля максимальна, то (5) Підставивши в умову (5) вираз (4) і провівши диференціювання, дістанемо: ; Звідки, ; ·4·2x=0; · =0; 0. ; м Задача 11. Швидкості двох електронів та лежать в одній площині і при відстані між електронами утворюють кут з прямою, що з’єднує електрони ( див. Рисунок 2 та Рисунок 3). На мінімальну відстань наблизяться електрони, якщо швидкості та однакові за модулем ? Заряд електрона дорівнює е, а маса дорівнює т. Розв'язування. З умови задачі випливає, що система із двох електронів замкнута і в ній діють потенціальні сили (в даному випадку кулонівські). Тому можна використати закони збереження. За законом збереження енергії: сума потенціальної та кінетичної енергії електронів що знаходяться на відстані , повинна дорівнювати сумі енергій, коли вони знаходяться на відстані ; ; = + ; = + ; Так, як за умовою = = ; = ; = , отже + ; Після наближення до відстані ; ; оскільки =0, то запишемо закон збереження енергії: + + = ; + = ; Шляхом перетворення отримаємо . Задача 12. Діелектрик пробивається при напруженості поля Е=1800 В/мм, Два плоских конденсатори ємностями С =600 пФ і С =1500 пФ з ізолюючим шаром із цього діелектрика завдовжки d=2 мм з’єднані послідовно. При якій найменшій напрузі буде пробита ця система? Розв'язування. Напруга, прикладена до батареї послідовно з'єднаних конденсаторів, дорівнює сумі напруг на конденсаторах. При цьому напруги розподіляються обернено пропорційно ємностям, тому С =С =q, де q - заряд однієї з обкладинок конденсатора. Звідси , а = . При однаковій ізолюючій прокладці між обкладинками конденсатора більша напруженість поля буде в конденсаторі з меншою ємністю, і він буде пробитий першим. Пробій відбудеться прій напрузі =3600 В.Тоді шукане значення = )=5040В Задача 13. Дві кульки з однаковими зарядами q розташовані на одній вертикалі на відстані Н одна від одної. Нижня кулька закріплена нерухомо, а верхня, що має масу т, дістає початкову швидкість , напрямлену вниз. На яку мінімальну відстань h наблизиться верхня кулька до нижньої? Розв'язування. Робота електричних сил дорівнює зміні енергії системи кульок: ; де qU-робота електричних сил, u = , . тоді и= - різниця потенціалів точок початкового і кінцевого положень верхньої кульки. Для визначення h складаємо квадратне рівняння: ; розв'язуючи яке знайдемо: ; знак плюс перед коренем відповідав би максимальній висоті, досягнутій кулькою, якби вона дістала таку саму початкову швидкість, напрямлену вгору). Задача 14. Яка максимальна сила взаємодії між двома протонами з енергією W ==106 eВ, які летять у зустрічних пучках? Розв'язування. Потенціальна енергія двох взаємодіючих однакових зарядів ; де r — відстань між зарядами q. Сила взаємодії протонів максимальна тоді, коли вся кінетична енергія протонів перейде в потенціальну: . Звідси, використовуючи закон Кулона, знайдемо : =110 Н. Задача 15. Під дією світлового випромінювання з поверхні ізольованої металічної кульки з радіусом r вилітають електрони з початковими швидкостями , внаслідок чого кулька заряджається. До якого максимального заряду q можна таким чином зарядити кульку? Відношення заряду електрона до його маси вважати відомим. Розв'язування. Щоб залишити кульку, електрон повинен здійснити роботу - роботу проти дії електричної сили з боку кульки, зарядженої позитивно, після того, як з її поверхні вилетіла деяка кількість електронів, сумарний заряд яких дорівнює q. Отже, запас кінетичної енергії електрона не повинен бути меншим від цієї величини, інакше, відлетівши на деяку відстань від кульки, електрон зупиниться і під дією електричної сили з боку кульки повернеться на неї. Звідси дістанемо умови для максимального заряду , звідки . Задача 16.Із 400 однакових елементів складена батарея так, що утворено п з'єднаних послідовно груп, в кожній з яких міститься т елементів, з'єднаних паралельно. Внутрішній опір одного елемента r=1 Ом. При яких значеннях п і т батарея, замкнута на зовнішній опір R=100 Ом, дасть максимальну силу струму? Розв'язування. ЕРС батареї дорівнює nE, її внутрішній опір r. Тому (за законом Ома) струм в колі ; Цей вираз максимальний, коли обернений вираз мінімальний. Але середнє арифметичне двох чисел більше або дорівнює середньому геометричному ( нерівність Коші): , а пт дорівнює числу елементів та - стале. Останній вираз мінімальний при тобто, при , =200, т=2. Задача 17. Два однакових елементи з ЕРС =1,5 В і внутрішнім опором r=0,2 Ом замкнуті на резистор, опір якого становить в одному випадку =0,2 Ом, в другому - =20 Ом. Як потрібно з'єднати елементи (послідовно чи паралельно) в першому і другому випадках, щоб одержати найбільший струм у колі? Розв'язування. При паралельному з'єднанні двох елементів внутрішній опір та ЕРС дорівнюють та , при послідовному з'єднанні вони дорівнюють та . Через резистор R при цьому течуть струми: ; ; Звідси видно, що > , якщо < тобто, якщо < . За умовою задачі в першому випадку = . Отже, сили струмів при паралельному та послідовному з'єднанні однакові. В другому випадку > , тому сила струму буде більшою при послідовному з'єднанні. Задача 18. Для складання ялинкової гірлянди є =10 лампочок потужністю =2 Вт при номінальній напрузі =4 В і деяка кількість лампочок, що мають таку саму потужність при номінальній напрузі =8 В. Яке мінімальне число 8-вольтових лампочок потрібно взяти, щоб, додавши їх до десяти 4-вольтових, скласти гірлянду для вмикання в мережу з напругою =120 В? Розв'язування. Через лампочку повинен протікати струм , де — номінальна напруга, тобто, 4-вольтові лампочки розраховані на струм 0,5 А, а 8-вольтові - на струм 0,25 А. Отже, необхідне змішане ввімкнення: послідовно з десятьма 4-вольтовими лампочками потрібно включити паралельно одну одній дві однакові групи 8-вольтових лампочок. Падіння напруги на додаткових групах 8-вольтових лампочок буде , а число лампочок в обох групах повинно бути = 20. Задача 19. Існує джерело напруги з ЕРС= та внутрішнім опором , замкнуте на реостат. Виразити потужність струму у зовнішньому колі як функцію сили струму . Побудувати графік цієї функції. При якому струмові потужність буде найбільшою? Побудувати також графік залежності К.К.Д. джерела від сили струму в колі. Розв'язування. Повна потужність в колі дорівнює сумі потужностей в зовнішньому колі та потужності джерела = + Звідки, = - . Потужність максимальна при струмі Графік залежності р від - парабола з максимумом при К.К.Д. в колі . З графіка бачимо, що кожному заданому значенню потужності (крім максимального) відповідають два значення струму. Графік являє собою пряму лінію (Див. рисунок). потужність максимальна . Задача 20. При вибуху гримучого газу на кожен грам водню, що прореагував, виділяється у вигляді тепла 145 кДж енергії. Використовуючи ці дані, знайти, при якому найменшому значенні ЕРС батареї може відбуватися електроліз води. Розв'язування. При електролізі води електроди поляризуються і виникає ЕРС поляризації , спрямована проти ЕРС батареї. Тому електроліз відбувається лише у випадку ЕРС батареї більша . При проходженні через електроліт заряду батарея виконує роботу проти ЕРС поляризації: · . За рахунок цієї роботи відбувається розкладання води з утворенням гримучого газу. На основі закону збереження енергії хімічна енергія гримучого газу , що виділяється при проходженні заряду , дорівнює · . Згідно з законом Фарадея, виділення 1 г водню на катоді супроводжується проходженням кількості електрики =96500 Кл. Таким чином, = , =1,5 В. Отже, ЕРС батареї повинна перевищувати 1,5 В. Задача 21. В однорідне горизонтальне магнітне поле з індукцією В=4·10 Тл вміщено Н-подібну конструкцію з товстих мідних стержнів, бічні сторони якої напрямлені вертикально. Площина конструкції перпендикулярна вектору індукції магнітного поля. По стержнях вільно та без порушення контакту ковзає зверху вниз тонка мідна перемичка ( Ом·м, =8,8·103 ). Якої максимальної швидкості вона досягне? Опором всіх частин, крім перемички, знехтувати. Чи зміняться напрям та величина струму через горизонтальну перемичку, коли рухома перемичка пройде повз неї? Розглянути випадок, коли площина конструкції утворює кут =30° з горизонтом. Тертям знехтувати. Розв'язування. При русі перемички в контурі вниз, утвореному конструкцією та перемичкою, внаслідок зміни потоку індукції виникає ЕРС індукції: |Е|= . При цьому, по перемичці проходить струм . На перемичку з боку поля буде діяти сила Ампера, яка буде напрямлена вгору: , ; Швидкість руху перемички вниз досягне максимального значення, коли сила стане дорівнювати силі тяжіння, що діє на перемичку (подальший рух буде рівномірним). ; Підставляючи одержану рівність значення та ,де - площа поперечного перерізу перемички. Остаточно дістанемо: ; 0,96 м/с (не зміниться). При похилих рейках ; =1,92 Задача 22. Рамка площею S=400 см2 має N=100 витків і обертається в однорідному магнітному полі з індукцією В=10 Тл, причому, період обертання T=0,1 с. Визначити максимальне значення ЕРС, що виникає в рамці, якщо вісь обертання перпендикулярна до силових ліній. Розв'язування. Магнітний потік Ф за визначенням Ф= , де В - магнітна індукція, S - площа рамки, -кут між В та нормаллю п до рамки. При обертанні рамки кут змінюється за законом: ; ,тоді Ф=ВS , або Ф=Ф . За законом електромагнітної індукції: = , за умови, коли , перша похідна від магнітного потоку за часом. Тоді Е = - . Де — максимальне значення ЕРС індукції при обертанні одного витка. Оскільки кількість витків N ,то . Задача 23. Конденсатор коливального контуру приймача має ємність С. На яку довжину хвилі резонує контур приймача, якщо відношення максимальних значень напруги на контурі та струму в котушці контуру при резонансі дорівнює ? Розв'язування. Період Т власних електромагнітних коливань контуру, що складається з котушки з індуктивністю та конденсатору з ємністю С, якщо активним опором контуру можна знехтувати порівняно з індуктивним (при резонансній частоті) , визначається формулою Томсона: Довжина електромагнітної хвилі у вакуумі визначається формулою ( 3·10 ),тоді ; З рівності , при резонансі , , дістанемо . Звідки , або , = . Задача 24. Три однакових однойменно заряджених тіла, заряд кожного з яких дорівнює q, а маса т, з'єднані невагомими, нерозтяжними та непровідними нитками довжиною так, що нитки утворюють рівнобічний трикутник. Одну з ниток перепалюють. Знайти максимальну швидкість тіл. Розв'язування. Швидкості виявляться максимальними у момент t, коли всі три заряди опиняться на одній прямій. При цьому електричні сили будуть скомпенсовані силами натягу нитки. Швидкості частинок будуть перпендикулярні ниткам. Позначимо через швидкість середнього заряду, а через - швидкості крайніх зарядів. З міркувань симетрії та з урахуванням законів збереження імпульсу та енергії маємо: ; ( - повна енергія системи) ; ; ; Таким чином, . Задача 25. На тонкому кільці з радіусом рівномірно розподілений заряд .Знайти найменшу швидкість , яку необхідно надати кульці, що знаходиться у центрі кільця, масою т та зарядом , щоб вона могла віддалитися від кільця в нескінченність? Розв'язування. Якщо заряди та однойменні, то можна віддалити кульку від кільця у нескінченність, надавши їй (кульці) нескінченно малу швидкість. Якщо знаки зарядів різні, то сума кінетичної та потенціальної енергії кульки у центрі кільця повинна дорівнювати нулю бо вона дорівнює нулю у нескінченності: де - потенціал у центрі кільця. Знайдемо його. Розіб'ємо кільце на відрізки, малі у порівнянні з відстанню . Тоді заряд , що знаходиться на кожному відрізку ( - номер відрізку), можна розглядати як точковий. Він створює у точці 0 потенціал: . Звідси . Задача 26. Коло із зовнішнім опором =0,3 Ом живиться від =6 акумуляторів, кожен з яких має ЕРС=2 В та внутрішній опір =0,2 Ом. Акумулятори з'єднані в окремі групи послідовно і групи з'єднані одна з одною паралельно. При якому способі з'єднання акумуляторів у такі групи буде отримана найбільша сила струму в колі? Яким буде найбільше значення сили струму? Розв'язування. Якщо в групі послідовно з'єднано п акумуляторів, то опір та ЕРС кожної групи дорівнюють п і . Якщо — загальне число акумуляторів, то в батареї буде груп, опір і ЕРС батареї дорівнюють: та . Сила струму у колі визначається за законом Ома: ; Сила струму буде найбільшою при такому значенні п, при якому знаменник дробу буде найменшим. Оскільки добуток членів знаменника не залежить від п і постійний , то найменше значення знаменника досягається тоді, коли його члени рівні , або , тобто, коли внутрішній опір батареї стане рівним опору зовнішнього кола. Звідси найменшому значенню знаменника та, таким чином, найбільшій силі струму у колі буде відповідати , . Задача 27. Електричне коло складається із джерела з та внутрішнім опором і двох підключених паралельно до джерела струму резисторів (див. Рисунок). Опір одного з резисторів незмінний, а опір другого можна підібрати так, щоб потужність, яка виділяється в цьому резисторі, була максимальною. Знайдіть значення що відповідає цій максимальній потужності. Розв'язування. Знайдемо силу струму , який тече у колі через джерело струму: ; Напругу на кожному з резисторів і визначимо за формулою: ); Потужність , що виділяється на резисторі , знайдемо за формулою: . Максимальній потужності буде відповідати мінімум знаменника. Враховуючи класичну нерівність , дістанемо, що при знаменник дробу мінімальний та потужність, що виділяється на резисторі , максимальна. Задача 28. Яку максимально корисну потужність (потужність, що виділяється на зовнішньому опорі) може виділити акумулятор з ЕРС=10 В та внутрішнім опором 1 Ом. Який при цьому опір зовнішнього кола? Розв'язування. За визначенням електрична потужність (1); Використовуючи закон Ома для замкнутого кола: виразимо : (2) підставимо в (1), тоді . З останнього співвідношення видно, що потужність буде максимальною, якщо чисельник буде максимальним. Отже, потрібно знайти умову, при якій функція буде максимальною. Для цього позначимо =y, а . Тоді дістаємо: . Маємо рівняння параболи. Знайдемо координату х вершини параболи, тобто, таке значення х, при якому у буде діставати максимальне значення: Величина у досягає максимуму, коли обидва корені рівняння співпадають. Отже, при максимальному у дискримінант рівняння повинен дорівнювати нулю: y = , звідки, ; Вт. При цьому ; ; . тобто, зовнішній опір дорівнює внутрішньому . Задача29. Нагрівник електричного чайника складається з чотирьох секцій, кожна з яких має опір 1Ом. Нагрівник живлять від акумуляторної батареї з ЕРС =8 В та внутрішнім опором 1Ом. Як потрібно включити елементи нагрівника, щоб вода в чайнику нагрівалася швидше? Яка при цьому потужність, що витрачається акумулятором? Розв'язування. Потужність, що виділяється на навантаженні, максимальна, якщо опір навантаження дорівнює внутрішньому опорові джерела. При цьому на навантаженні буде виділятися =16 Вт, а повна потужність акумулятора становить =32 Вт. Коло, що має опір 1Ом із чотирьох елементів з опором 1 Ом кожен, можна скласти, включивши їх попарно послідовно та з'єднавши паралельно утворені ланцюжки (або навпаки, елементи з'єднавши паралельно, а ланцюжки - послідовно). Можна використати лише один елемент. При цьому також буде виділятися максимально можлива потужність у зовнішньому полі. Це, однак, може призвести до перегрівання елементу - він не буде встигати віддавати тепло і може перегоріти. Задача30. Конденсатор ємностю С і котушки індуктивності і включені у електричне коло, як показано на рисунку. Знайти найбільшу силу струму у колі, якщо початкова різниця потенціалів на пластинах конденсатора дорівнює . Енергія магнітного поля у котушці індуктивністю дорівнює Розв'язування. За законом збереження енергії: Прирівнюючи магнітні потоки, що проходять через котушки індуктивності, дістаємо . Розв'язуючи систему рівнянь, знаходимо: ; . Задача31. Невелике заряджене тіло масою прикріплене до нитки довжиною , може рухатись по колу у вертикальній площині. Однорідне магнітне поле індукцією перпендикулярне до площини рисунка. При якій найменшій швидкості тіла у нижній точці воно може зробити повний оберт? Заряд тіла позитивний і дорівнює Розв’язування Згідно з ІІ законом Ньютона ( для верхньої точки) : ; (1) Умова мінімальності у нижній точці траєкторії, вимагає щоб сила натягу нитки у верхній точці Згідно із законом збереження енергії ;(2) Магнітне поле роботу не виконує, оскільки сила Лоренца, оскільки сила Лоренца напрямлена перпендикулярно до швидкості Розв’язуючи сумісно рівняння (1) і (2) отримаємо: ЯКІСНІ ТВОРЧІ ЗАДАЧІ НА ЕКСТРЕМУМ Задача 1. Щоб бризки від велосипедних коліс не попадали на велосипедиста, над колесами велосипеду встановлюються щитки. Зобразіть схематично найменші розміри щитків, при яких бризки не можуть попасти на велосипедиста. Розв'язування. Траєкторія бризків - дотична до кола колеса. Тому розміри щитків обмежені дотичними до колес, проведеними до голови та до носків ніг велосипедиста. Задача 2. Коли голка програвача досягає максимальної швидкості відносно платівки? Розв'язування. Голка відносно платівки рухається по спіралі. Отже, коли голка знаходиться на початку платівки, її лінійна швидкість буде максимальною ( - максимальний на початку). Задача 3. В якому випадку струмінь фонтану досягає найбільшої висоти? Розв'язування. Струмінь фонтану досягає найбільшої висоти при незначному відхиленні від вертикалі, оскільки при вертикальному напрямку струмені падаючих частинок води гальмують частинки, що піднімаються, і зменшують висоту їх підйому. Задача 4. Коли Земля швидше рухається по своїй орбіті навколо Сонця - взимку чи влітку? (Для північної півкулі). Розв'язування. Секторальна швидкість руху Землі навколо Сонця постійна. Тому Земля рухається швидше взимку, оскільки в цей час вона рухається поблизу свого перигею. Задача 5. Як змінився б тиск у посудині з газом, якщо б зникли сили, з якими молекули притягуються між собою? Розв'язування. Тиск, звичайно, стане більшим: , де — маса молекули, - швидкість, яка зросте, - концентрація молекул. Задача 6. Залежність тиску від температури газу, об'єм якого є величина стала, показана на малюнку . Вказати, в яких точках Діаграми маса газу в посудині максимальна і мінімальна. Розв'язування. З рівняння стану ідеального газу , при ~ Р Візьмемо деяку точку А на діаграмі. Ясно, що ~ Таким чином, маса газу максимальна чи мінімальна в тих випадках, для яких на діаграмі максимальним чи мінімальним буде значення , тобто і самого кута . Добре видно, що це буде в точках В і С, де лінії, які проходять через початок координат, будуть дотичними до кривої, яка зображує процес. Задача 7. Зовнішній тиск на воду збільшують. Що при цьому слід робити: нагрівати чи охолоджувати воду, щоб зберегти її об'єм незмінним? Розв'язування. Внаслідок особливостей теплового розширення води відповідь залежить від її початкової температури. Збільшення зовнішнього тиску при сталій температурі приведе до зменшення об'єму. Температуру води треба змінювати так, щоб компенсувати цю зміну об'єму. Таким чином, якщо початкова температура води менша за 4° С, її треба охолоджувати. Коли ж >4° С, - нагрівати. Задача 8. Камінь прив'язаний до мотузки, що обертається по колу у вертикальній площині. Чи однакові сили натягу мотузки у верхній та нижній точках траєкторії руху каменя? Розв'язування. На основі другого закону Ньютона у верхній точці натяг мотузки мінімальний, а в нижній - максимальний. Задача 9. При зважуванні тіл на Землі, Місяці, Марсі пружинні терези показують одне і те ж значення. На якій із планет вага тіла буде максимальною, мінімальною? Розв'язування. Пружинні терези показують вагу тіла, яка визначається добутком маси тіла на прискорення вільного падіння. Оскільки останнє на Місяці мінімальне, а на Землі максимальне, ; то максимальною буде вага на Місяці, мінімальною - на Землі. Задача 10. В якому випадку припливна хвиля найбільша, в якому найменша? Розв'язування. Припливна хвиля утворюється завдяки притяганню не тільки з боку Місяця, а й Сонця. Тому припливна хвиля буде найбільшою, якщо Сонце і Місяць знаходяться на одній лінії (прямій) по один бік від Землі. Якщо ж Сонце й Місяць знаходяться на одній прямій по різні боки від Землі, то хвиля буде найменшою. Задача 11. Пластини плоского конденсатора розсовують один раз, коли їх підключають до джерела напруги, а вдруге - коли відключені після першої зарядки. В якому з цих двох випадків потрібно затратити більшу роботу на розсування пластин? Розв'язування. В першому випадку при розсуванні пластин різниця потенціалів залишиться незмінною, але ємність, й отже й заряд на пластинах, зменшаться. Це викличе поступове зменшення сили взаємодії пластин. В другому випадку заряд на пластинах залишається постійним, сила взаємодії пластин збереже початкове значення на весь час розсування пластин. Тому при однаковому зміщенні пластин робота в другому випадку буде більшою. Задача 12. Металеву кулю заряджають від електрофорної машини за допомогою пластинки, яку після кожного контакту з кулею знову заряджають від машини до заряду . Визначити максимальний заряд кулі, якщо її заряд після першого стикання дорівнює . Розв'язування. Після першого стикання з пластиною куля отримає заряд , а на пластинці залишиться заряд - , отже їх потенціали будуть однаковими. Коли після дотику потенціал кулі досягне потенціалу пластинки, зарядженої зарядом , подальше перенесення заряду стане неможливим. З цих міркувань дістанемо максимальний заряд кулі: ,тоді , звідки . Задача 13. Дротяна прямокутна рамка обертається з постійною швидкістю v навколо однієї з своїх сторін, паралельних розташованому поряд з рамкою прямолінійному провіднику із струмом . При яких положеннях в рамці виникне найбільша і найменша ЕРС індукції Розв'язування Рис.1 Найменша ЕРС виникає тоді, коли рамка розташована у площині, що проходить через прямолінійний провідник. Найбільша ЕРС виникає, коли рамка перпендикулярна до цієї площини. Задача 14. Як слід розташувати око відносно невеликого отвору, щоб одержати порівняно велике поле зору? Розв'язування. Око слід поміщати якнайближче до отвору. Задача 15. Промінь прожектору добре видно в тумані, а гірше - в ясну погоду. Чому? Розв'язування. Внаслідок відбивання світла дрібними крапельками води. Задача 16. Іноді класна дошка відсвічує. Чому це відбувається? При яких умовах це явище буде спостерігатися? Розв'язування. Чорна полірована дошка відбиває дзеркально, хоч і з невеликим коефіцієнтом відбивання, коефіцієнт відбивання зростає відповідно до наближення кута падіння до прямого. Задача 17. В кімнаті, освітленій електричною лампочкою, потрібно визначити, яка з двох збиральних лінз має більшу оптичну силу? Як це зробити? Розв'язування. Потрібно одержати на стіні різке зображення нитки лампи. Та лінза, яка при цьому буде розташована ближче до стіни, має більшу оптичну силу. Задача 18. Грунт, папір, дерево, пісок здаються більш темними, якщо вони змочені. Чому? Розв'язування. У сухого матеріалу поверхня шерстка. Тому відбите світло виявляється розсіяним. Якщо матеріал змочити, то шороховатість, зменшиться. Крім того, в тонкій плівці води світло зазнає багаторазового повного відбиття і поглинається. Задача 19. На якій відстані потрібно помістити предмет перед збиральною лінзою, щоб відстань від предмету до його дійсного зображення була найменшою? Розв'язування. ; ; ; (1); (2);Підставляючи (2) в (1) отримаємо, , тобто , цей вираз набуває мінімального значення за умови =2, та , отже На відстані, що дорівнює подвійній фокусній відстані. Задача 20. Діаметр зіниці людського ока може змінюватися від 2 до 8мм. Чим пояснити, що максимальна гострота зору має місце при діаметрі зіниці 3—4 мм? Розв'язування. При більшому діаметрі зіниці гострота зору зменшується через більшу сферичну аберацію. При малому діаметрі зіниці має місце спотворення зображення дифракційними явищами.
